用电路求解微分方程：从万能实现到网络综合

一个线性电路本身就由微分方程描述。

那么反过来，一个给定的微分方程，能不能直接交给电路去求解？

对于线性常系数微分方程，这个问题有一个很干净的答案：

可以。

若允许受控源，几乎可以机械地构造出对应电路；
对一阶、二阶方程，很多时候甚至不需要这种通用构造，一个普通的 RC 或 RLC 网络便已经天然满足所需方程；
而网络综合理论进一步回答了：如何把一个“肯定能实现”的主动电路，尽量化成更自然、更少受控源，甚至完全无源的 RLC 网络。

这三层其实对应三个不同的问题：

能不能实现？
    ↓
受控源 + 状态变量：万能

能不能直接由普通元件实现？
    ↓
一阶、二阶：常常可以

能不能把高阶实现也整理成漂亮的 RLC 网络？
    ↓
网络综合：Cauer / Foster / Brune

一、万能方法：把微分方程变成模拟计算机

考虑一个一般的线性常系数系统

其中

写开就是

若只讨论零初始条件，则形式上有

当然，真正构造电路时并不需要先去“算拉普拉斯变换”。这里的更应该理解为微分算子的代数记号。

1. 不直接制造高阶导数

最笨的想法，是直接去产生

但微分器对高频噪声极其敏感，而且越高阶越不好实现。

真正自然的办法恰好相反：

不用微分器，而全部使用积分器。

例如把一个阶方程改写成一阶状态方程组。

若

可以取状态，满足

以及

输出再由

组合得到。

于是整个系统只需要三种基本操作：

积分
乘常数
求和

而这三件事恰好都是模拟电路最擅长做的。

2. 电路中的三个基本模块

积分器实现

受控源或者运算放大器可以完成

而加法器可以完成

于是状态方程

本质上已经是一张电路施工图：

       ┌────────反馈系数────────┐
       ↓                       │
x → [求和] → [积分] → [积分] → … → [积分]
             z_n       z_{n-1}       z_1

每增加一阶，只需要再增加一个状态和一个积分器。

因此，对于任意有限阶线性常系数、因果系统，

$状态空间积分器加法器增益器$

给出了一个机械的电路构造方法。

这其实就是经典模拟计算机的基本思想。

3. 初始条件也并不神秘

例如

的解为

所以初始条件只需要放进积分器的初态。

在真实电路里，这可以表现为电容上的初始电压；若直接以 RLC 的状态变量描述，则还可以表现为电感的初始电流。

因此：

$微分方程的初值储能元件的初始状态$

这并不是额外补上的数学条件，而有直接的物理对应。

二、低阶特例：有时候根本不需要“模拟计算机”

万能方法当然能做一阶、二阶系统。

但对这些低阶方程，若仍然摆上一堆积分器和受控源，反而有些杀鸡用牛刀。

因为 RC、RL、RLC 电路自己就天然满足一阶、二阶微分方程。

三、一阶：一个 RC 电路就是一阶微分方程

考虑最普通的 RC 低通：

Vin ── R ──●── Vout
           |
           C
           |
          GND

取

电阻电流为

而电容满足

所以

整理：

这正是标准一阶系统。

若目标方程为

只需要选

因此一阶微分方程中的时间常数，在电路中直接变成。

这时候已经没有“用电路模拟微分方程”的感觉了。

更准确地说：

RC 电路本身就是这个微分方程。

四、二阶：RLC 本身就是二阶系统

再考虑串联 RLC，并取电容电压为输出：

Vin ── R ── L ──●──
                |
                C
                |
               GND

由于

电阻电压为

电感电压为

由 KVL，

于是

自然出现。

若把标准二阶系统写为

则对应条件为

以及

所以：

决定固有频率；
决定阻尼；
欠阻尼、临界阻尼、过阻尼也就直接对应不同的元件参数关系。

这也是为什么二阶微分方程和 RLC 电路之间总有一种近乎“天然”的对应。

五、为什么到了高阶事情突然变麻烦了

一阶有 RC。

二阶有 RLC。

于是自然会产生一个想法：

三阶是不是加一个元件，四阶再加一个元件，最后任意阶都能照着系数直接搭出来？

问题就在这里。

对一般高阶系统，虽然每增加一个独立的或都可能增加一个状态，但：

$微分方程系数元件参数逐项对应$

因为不同元件之间通过 KCL、KVL 耦合以后，最终系数是整个拓扑共同产生的。

因此高阶系统面临的已经不是“解方程”问题，而是另一个经典问题：

已知一个目标端口函数，反过来寻找能够实现它的网络。

这就是网络综合。

六、从微分方程进入网络综合

仍然从

开始。

如果把解释成端口电压，把解释成端口电流，那么就需要

于是所需阻抗满足

于是原来的问题

怎样实现一个微分方程？

被改写成：

怎样用 R、L、C 综合给定有理阻抗？

这一步非常重要。

状态空间法追求的是：

$一定能做出来$

网络综合追求的则是：

$能不能做得更像一个真正的电路$

例如：

少用受控源；
少用运算放大器；
尽量只使用 R、L、C；
使用规则的梯形结构；
尽可能成为无源网络。

七、Cauer：把网络从外向里一层层剥出来

第一类经典方法是 Cauer 综合。

它的数学本质极其简单：

连分式。

假设

进行多项式除法：

于是

继续：

便得到

所以 Cauer 综合在数学上几乎就是：

$欧几里得算法$

而在电路中，每一个商都对应从网络最外面剥出的一个元件。

八、Cauer-I 与 Cauer-II

Cauer 有两个自然方向。

Cauer-I：从高频端开始

观察

例如

便先抽出串联电感：

然后取倒数：

若

便抽出并联电容。

如此重复：

对应一个梯形网络：

── L1 ──●── L2 ──●── …
        |        |
        C1       C2
        |        |
       GND      GND

Cauer-II：从低频端开始

也可以反过来看

若

则先剥一个串联电容。

剩余阻抗倒数以后，若

则再剥一个并联电感。

于是形成

所以：

$：从开始：从开始$

本质上仍是同一件事：

不断“减掉一个元件”，取倒数，再减掉下一个元件。

每完成一轮，剩余问题的阶数都会下降。

九、Foster：不逐层剥，而是按模态拆开

Cauer 是连分式。

Foster 则完全换了一种想法：

做部分分式。

对于典型的无耗 LC 电抗函数，可以写成

其中每一项都有非常直接的电路意义。

1. 单独的电感

就是

2. 单独的电容

就是

3. 一个共轭极点对

考虑

而并联 LC 的阻抗为

整理为

因此只需取

和

于是每一个共轭极点对，都直接变成一个 LC 谐振器。

所以 Foster 综合有一种非常漂亮的解释：

$一个极点模态一个谐振支路$

Cauer 是“空间上逐层拆”。

Foster 则是“频率上逐模态拆”。

十、同一个函数可以得到完全不同的电路

例如

如果使用 Foster 部分分式：

于是直接得到：

一个的串联电容；
一个的并联 LC 谐振器。

即

── C ── [ L || C ] ──

但同一个函数若进行 Cauer-II 展开，则得到

── C1 ──●── C2 ──
        |
        L1
        |
       GND

并且

所以网络综合并不存在唯一答案。

相反，

$同一个微分方程同一个端口函数许多不同的物理实现$

不同综合方法的意义，正是在这些实现之间寻找不同的结构。

十一、为什么还需要 Brune

到这里还有一个限制。

Foster 与简单的 Cauer 形式，对于 LC、RC、RL 等特殊函数十分漂亮。

但一般含耗散的 RLC 阻抗，并不会总能拆成如此简单的正元件结构。

真正的一般被动网络综合面对的是正实函数 。

所谓正实，粗略说就是在

时满足

这正是被动驱动点阻抗所必须具有的核心性质。

对于一般有理正实函数，需要更强的综合方法——Brune 综合。

十二、Brune：一般正实函数的递归综合

Brune 方法首先计算

在整个频率轴上的最小值：

于是先剥掉一个串联电阻

记

在取得最小值的频率处，

因此

恰好成为纯电抗。

接下来通过抽取一个适当的电抗元件，可以使剩余函数在产生零点。

取倒数以后，这对零点就变成极点，于是可以抽出一个 LC 谐振支路。

抽完以后，剩下的又是一个更低阶的正实函数。

于是一个 Brune cycle 可以概括为：

一般正实 Z(s)
      ↓
寻找 min Re Z(jω)
      ↓
剥一个电阻
      ↓
在某个 ω0 上得到纯电抗
      ↓
构造一对虚轴零点
      ↓
倒数
      ↓
剥一个 LC 谐振模态
      ↓
得到更低阶的正实函数
      ↓
继续递归

中间有时会暂时出现负电感或负电容。

但 Brune 方法利用互感元件或理想变压器，把这些形式上的负元件重新组合成完全被动的正元件网络。

因此它真正解决的是：

$一般有理正实函数被动网络$

十三、到这里，整个框架终于可以统一起来

现在回到最初的问题：

一个微分方程，到底在多大程度上可以“直接变成电路”？

答案可以分成四层。

第一层：万能实现

对于有限阶线性常系数因果系统，

$状态变量积分器受控源$

给出了通用构造。

这一层追求的是：

$一定能实现$

而不是元件最少，也不是被动。

第二层：低阶自然实现

一阶系统常常直接就是

二阶系统常常直接就是

例如：

以及

这一层甚至不需要“网络综合”。

因为所需微分方程本身就是常见电路的自然运动方程。

第三层：特殊高阶函数

如果目标阻抗属于 LC、RC、RL 等结构良好的类别，可以使用

或者

直接把有理函数分解成规则的梯形网络或谐振网络。

这里网络综合已经开始发挥真正的优化作用。

第四层：一般被动 RLC

若目标端口函数是一般的有理正实函数，则进入

$综合$

的范围。

允许引入互感或理想变压器后，一般正实阻抗都可以被综合为有限被动网络。

十四、但并不是所有微分方程都对应无源 RLC

这一点尤其重要。

“可以用电路求解”与“可以用纯无源 RLC 求解”是两个完全不同的命题。

一个任意的传递函数

完全可能：

具有增益；
不是正实函数；
对某些频率呈现主动特征；
包含不稳定极点；
根本无法作为某个无源驱动点阻抗。

这种时候，并不是微分方程无法由电路实现。

只是说明：

$纯网络不够$

需要回到：

受控源；
运算放大器；
主动网络；
或形式上的负阻抗、负电抗元件。

因此网络综合不是对万能方法的替代。

恰好相反：

状态空间实现给出“存在性”，网络综合负责“优化性”。

十五、最后

整个问题最后可以压缩成下面这一张图：

$任意有限阶线性常系数因果系统状态空间积分器受控源万能实现一阶二阶特殊情形直接物理实现结构良好的高阶无源函数规则网络综合一般有理正实函数一般被动综合非正实的一般系统受控源主动元件回到万能实现$

所以，从最宽泛的意义上说：

$线性微分方程线性动态电路$

只是这个对应有不同层次。

最粗暴的时候，它是一台由积分器和受控源组成的模拟计算机；

最幸运的时候，一个电容、一个电阻就已经把方程写在了物理定律里；

而网络综合所做的，则是在两者之间不断追问：

同一个微分方程，究竟能不能用一个更自然、更漂亮的电路来实现？