电路网格节点的单调性

增大一只电阻，会发生什么？

最直接的回答似乎是：这条路更难走了，所以本路电流变小。

再往旁边看一步，似乎也很自然：本路少掉的电流，总得从其他地方补回来，于是同一节点上的其他支路应该朝相反方向变化。

于是很容易产生一种更大胆的直觉：

如果两条支路里的实际电流能够前后“串”起来，那么前面电阻增大，后面的所有电流是不是也应该减小？

注意，是所有。从初学电路时就有的困惑，将在今天得到解决。

这篇笔记便从最初的问题开始。

一、最初的问题

考虑一个节点，它连接着多条支路。

如果把其中一条电阻支路的电阻增大，那么：

1. 这条支路自己的电流怎样变化？
2. 其他与它相邻的支路电流又怎样变化？

先把讨论范围固定下来：

• 网络有限；
• 所有电阻均为正；
• 独立电源保持不变；
• 电路具有确定的直流解；
• 每次只改变一只电阻。

对同一个节点，统一规定流入节点为正。

那么最初想证明的命题可以准确写成：

增大某条电阻支路的电阻，本路电流绝对值不增；其他与该节点相邻的电阻支路，其电流的代数变化与本路的代数变化反向，允许不变。

这里其实藏着两个不同层次的问题。

第一个是：

第二个才是：

先解决其一。

二、一个共用的引理：本路电流不会反向

设正在改变的支路电阻为 。

把这只电阻取下来，对剩余二端网络作戴维南等效。由于其他元件都没有改变，可以得到固定的等效电压 和等效电阻

于是本路电流为

所以

随着 增大，分母增大，因此

而 的符号固定，分母始终为正，因此 的正负也不会改变。

也就是说：

这个结论看起来很朴素，却是后面两种证明共同依赖的基础。

若剩余网络恰好落入某种不能用有限戴维南电压描述的理想恒流约束情形，那么本路电流保持不变，同样没有违反“绝对值不增”。

接下来真正有意思的是后面的单调性。

我们给出两种方法说明：该节点其余所有支路电流的变化与本路电流变化方向相反。

---

三、差值电路法

设改变的电阻连接节点 ，原电流方向为

将电阻增大后，由上一节的引理，本路电流减少。

记减少量为

现在暂时把改变的这条支路取下来，只看剩余网络。

改变前，本路从 带走电流并送入 ；改变后，这一过程少了 。

因此，从剩余网络的变化量来看，相当于：

• 在 注入 ；
• 从 抽出 。

也就是说，原来的“某个电阻变大”的问题，已经被转换成了：

在一个固定电阻网络中，从 向 施加一对等量反向的电流激励，各节点电势怎样变化？

这里真正重要的是“固定”二字。

1. 为什么可以直接对两个电路作差

作差时，原有的独立电源全部消失：

• 固定电压源的电压变化为零，等效短路；
• 固定电流源的电流变化为零，等效开路；
• 实际存在的内阻仍然保留。

而发生改变的那只电阻已经被取出了。

所以对于剩余的每一只电阻，阻值前后完全相同。于是若一条电阻连接 ，便有

这不是把两个不同电路强行当成同一个电路，而是在研究两个解之差所满足的线性网络方程。

2. 内部节点为什么不会出现新的极值

对于普通内部节点 ，没有外加变化电流，因此由 KCL，

整理得到

右边是所有相邻节点变化量电势的正权平均。

所以 不可能严格大于所有邻点，也不可能严格小于所有邻点。

这其实就是离散版本的最大值原理。

在 注入电流、在 抽出电流之后，最大值只能出现在激励的正端，最小值只能出现在负端。于是沿整个连通网络都有

现在看任何另一条连接到 的支路 。

规定 为正，则

而原来的 支路流入 的电流却减少了。

所以：

若另一支路原本从节点流出，则其绝对值相应减小。

于是最初的节点命题成立。

这里的 只是变化量网络的激励端，并不要求它们原来就是电源端。

这点在后面推广时尤其重要。

---

四、三端网络等效法

笔者当时还走了另一条路。

思路是：

保留正在改变的支路，再保留任意一条想观察的相邻支路，把剩余所有网络整体等效掉。

两只保留支路一共涉及三个端点，于是剩余部分自然成为一个三端网络。

如果能证明任意选出的一条相邻支路都满足结论，那么所有相邻支路也就都满足。

不过这里有一个容易踩的坑：

三端网络不能直接被拆成三个互不相关的二端网络，再分别作普通戴维南等效。

因为三个端口之间的响应是耦合的。

真正需要保留的是整个三端网络的端口关系。

1. 化成三支臂模型

对于通常具有有限端口关系的线性正电阻网络，可以消去内部节点，把无源三端部分表示成星形，再用串联电压源匹配各端口的开路电势差。

被研究的两只电阻始终放在等效网络之外，因此被改变的 不会偷偷进入那些固定等效参数中。

对得到的三支臂网络，记

上、下两支臂电流 都取流入公共节点为正。

那么中间支臂流出的电流就是

KVL 给出

记

于是

以及

笔者最初在整理第二个方程时，曾经把 的系数写乱。修正以后，事情反而变得非常干净。

2. 直接比较改变前后

现在让

于是 也增加 。

把改变前后的两个线性方程直接相减：

这里的 是改变前的电流。

记

解得

和

中间支臂若以流入节点为正，其电流为 ，所以

于是，当本路 因电阻增大而减小时，另外两条相邻支路都会朝相反的代数方向改变。

此外，观察 的显式表达式：

它的分子根本不含 ，而分母始终为正。

因此改变 不可能使 改变符号。

笔者当时还担心：

“如果一开始假设 ，那随着 增大，这个假设会不会半路失效？”

这个表达式已经把这个问题一起解决了。

---

五、两条路线继续往外走

到这里，两种证明其实已经开始指向两个不同的一般理论。

差值电路自然通向补偿定理；

三端等效则自然通向一般多端网络的端口描述。

1. 差值电路推广为补偿定理

设某条支路电阻由

变为

改变前电流为 ，改变后的电流为 。

那么支路电压变化为

这告诉我们，若只想求全网的变化量，可以构造这样一个电路：

1. 原独立源全部置零；
2. 将改变后的电阻 保留；
3. 在该支路串联一个大小为 的补偿电压源；
4. 其方向取为阻碍原电流。

这个辅助电路中的各支路电流，就是原网络中对应的电流变化量。

而且这里并没有要求 无限小。

所以它不是一个微分近似，而是对有限改变同样成立。

差值电路法到了这里，已经不再只是“证明节点旁边几条电流怎么变”的小技巧，而成为一个完整的网络变化分析方法。

2. 三端等效推广为 端网络

三端网络之所以能等效，不是因为“三”有什么神秘之处，而是因为线性网络的内部节点可以被消掉，只留下端口之间的线性关系。

一个有 个外接端点的浮置网络满足

所以只有 个独立端口电流。

选第 个端点作为电势参考，在端口关系可以写成阻抗形式时，有

这里：

• 是所有端口开路时的电势；
• 是一个 的电阻矩阵。

对于互易的纯电阻网络， 还是对称矩阵。

因此独立电阻参数的数量为

为什么会对称？

取两组不同的测试激励 。对每条电阻支路都有

对所有支路求和，再按节点收集，就得到两组端口激励之间的互易关系。

于是 。

3. 为什么三端特别“像一个电路”

三端时只有三个独立电阻参数，刚好能写成三条星形臂。

例如以端点 为参考，

若测量第三端开路时三个端点之间的等效电阻，

就能把三个星形臂全部解出来。

但当 时，一个只有 条臂的简单星形一般已经不够。

原因很直接：

简单星形只有 个电阻参数，而一般互易 端网络却需要

个。

所以真正能够推广的不是某个漂亮的星形图，而是：

---

六、“串反并同”究竟意味着什么

回到最初的节点问题。

假设改变的那条支路原电流流入某节点。

如果另一条支路也流入节点，那么本路电阻增大以后：

• 本路电流减小；
• 另一支路电流增大。

若另一条支路从节点流出，那么它的电流绝对值减小。

从实际电流流向来看，正好可以概括成：

这里允许“不变”。

不过这个“串”有一个极重要的歧义。

笔者一开始所说的“串”，只是：

两条支路里的实际电流方向能够前后接起来。

这并不是电路理论里严格意义的串联。

真正的串联要求中间节点没有其他分流。

这个区别几乎决定了后面的一切。

---

七、纯串并联网络里，它确实可以走得更远

如果一个电阻网络是由串联和并联操作递归构造出来的，那么“串反并同”可以推广到不相邻的两只电阻。

设选定两只电阻：

• 一只改变；
• 一只观察。

沿着串并联网络的构造树向上寻找，找到它们第一次进入同一个模块的那一层。

那一层只有两种可能。

1. 第一次相遇发生在串联

设两只电阻分别位于子模块 。

改变 内的一只电阻后， 的等效电阻 不减。

把整个模块外部作戴维南等效，则通过 的共同电流为

随着 增大，

不增。

而 内部所有阻值与拓扑都固定，所以目标支路电流只是共同端口电流的某个固定比例。

因此目标支路电流绝对值同样不增。

2. 第一次相遇发生在并联

设

当 增大时，整个并联模块的等效电阻 不减。

若外部戴维南等效为 ，模块端电压为

因此 不减。

而 本身固定，于是 内目标支路的电流绝对值也不减。

若外部恰好由理想电压源直接钳位， 可以完全不变。

所以在真正的串并联网络中：

这大概就是课堂上“串反并同”技巧最自然的适用范围。

可惜，一般网络并不是串并联网络。

---

八、一般网络中，“沿电流串起来”仍然可能失败

如果只要求两只支路的实际电流方向能够前后接起来，那么“串反”不成立。

先看一个直接的例子。

固定

网络包含支路

以及

最初所有电阻均为

现在只把 从

增大为

改变前，

改变后，

于是沿实际电流路径

有：

支路	改变前	改变后

这里最值得看的是

虽然它与被改变的 在实际电流方向上可以一路“串”起来，但

它反而增大了。

所以：

不过这组网络比较杂。

若想把“串反并同”的失效看得更清楚，电桥会更合适。

---

九、电桥：最接近课堂直觉的反例

考虑如下电桥：

电源电压为 ，通过一个串联电阻 给整个桥供电。

取 为零电势。

节点方程为

笔者想知道：

当左上电阻 增大时，右下支路 的电流究竟增大还是减小？

记

消元以后，右下支路电流为

对 求导：

除去 之外，其他因子全部为正。

于是符号完全由

决定：

这个结果已经很有意思。

若电桥直接接在理想电压源上，则

所以一定有

右下电流必然减小。

但只要电源外部出现足够大的串联内阻，事情便可能倒过来。

1. 中间桥臂也必须同向

不过笔者当时又补了一个要求。

如果要真正称为“沿实际电流串起来”，那么不能只要求左上和右下同向，中间桥臂也必须沿

计算可得

所以

成立的条件是

另一方面，右下电流随着 增大而增大的条件是

合并以后就是

这三个量完全可以同时满足。

例如取

把

此时：

支路	改变前	改变后
左上
中间
右下

并且整个过程中都有

三条支路始终保持

的同向电流。

可右下支路却从

增加到

差值为

于是得到一个真正满足笔者原先“中间也必须同向”定义的反例：

既然如此，仅看原电路中的电流箭头显然已经不够了。

真正决定响应方向的是什么？

---

十、把问题彻底改写：固定网络的传递响应

仍设被改变的电阻为 ，原电流

方向取

现在构造一个固定的辅助网络：

1. 把电阻 取下；
2. 原独立源全部置零；
3. 实际内阻保留；
4. 在 注入 ；
5. 从 抽出 。

假设此时 在剩余网络中连通。

记辅助网络从 看进去的等效电阻为

再选一条想观察的目标支路 。

在这个 测试下，若目标支路产生电流 ，定义

它是一个无量纲系数。

最重要的是：

一旦把原来的 取下，辅助网络就完全固定，所以 与 的具体取值无关。

1. 有限改变的精确公式

若把 增加

由戴维南等效，本路电流的减少量为

而剩余网络看到的正是一个大小为 的 电流转移。

线性性立即给出

于是全网所有支路的增减规律被压缩成了一个数：

若

则目标支路代数电流增大；

若

则减小；

若

则完全不变。

这比“串反并同”强得多，因为它不需要目标支路与改变支路相邻，也不需要网络是串并联结构。

2. 改动多大，都不会改变响应方向

把改变后的电阻直接记成 。

则

求导：

因为

分母也始终为正，所以导数的符号完全由 决定，而且不随 改变。

于是得到一个比最初问题一般得多的结论：

只是不同支路可以朝不同方向单调变化。

这也意味着，一条非恒零支路至多改变一次方向。

因为代数电流本身单调，所以最多穿过零点一次。

不过电流的绝对值未必单调：如果它经过零点，就会表现为先减小到零，再反向增大。

这里终于可以看清一个容易混淆的地方：

“支路电流代数值单调”与“支路电流绝对值单调”不是同一个命题。

3. 两个退化情况

若把 取下以后， 根本不连通，那么改变有限的 不会在剩余网络中重新分配电流，各电阻支路都不受影响。

另一种情况是 被理想电压源置零后直接短接成同一点。

那么其他电阻看到的节点电压完全固定，也不会改变；只有本路自身在固定端电压下随 变化。

---

十一、什么时候只看结构就够了

到这里，精确答案已经有了：

但计算 仍然需要具体阻值。

还能不能再问一步：

什么情况下，完全不用知道每只电阻多大，只看网络连接方式，就能确定 的符号？

仍看前面的单位测试网络。

从 到 考察所有简单路径，即不重复经过节点的路径。

观察这些路径经过目标支路 时的方向。

会出现四种情况：

简单路径与目标支路的关系	对任意正阻值都成立的结论
没有任何路径经过目标支路
有路径经过，且全部正向经过
有路径经过，且全部反向经过
既有正向又有反向经过	符号依赖具体阻值

这个结论可以从加权生成树的电流公式看出来。

单位电流从 流向 时，

其中每棵生成树的权重等于树上各边电导的乘积。

表示那些树中，唯一的 路径正向经过目标支路的权重之和；

则对应反向经过。

所有树权重均为正。

所以如果只存在一个方向，

或者

符号就被拓扑彻底锁死。

若正反两种路径都存在，则二者会竞争。

而且通过让某条路径上的阻值很小、其他竞争路径阻值很大，可以让测试电流主要选择指定方向。

所以此时 可以因阻值不同而取正、负甚至零。

这终于给出了一个结构层面的分界：

1. 最初的节点命题为何天然成立

如果目标支路直接连接到抽流节点 ，那么一条简单路径一旦经过这条支路并到达 ，路径就结束了。

它不可能先穿过 ，之后又绕出去重新回来，因为简单路径不能重复节点。

于是目标支路只能以一个固定方向被经过。

所以最初那个“相邻节点电流变化”命题，不过是这个一般路径判据的一个非常特殊的情况。

2. 电桥里的外阻为何如此重要

前面的电桥反例也可以立即得到解释。

如果没有串联外阻 ，理想电压源在变化量网络中被短路，于是 合并成同一个节点。

此时右下支路在所有 路径中只能以一个方向出现，所以符号固定。

一旦加入外阻 ，置零电源以后 不再直接成为同一点。

新的绕行路径出现，目标支路可能被正向也可能被反向穿过。

于是响应的正负就开始依赖

这些具体数值。

前面那个看起来颇为偶然的条件

其实正是这种路径竞争在具体电桥里的代数结果。

---

十二、另一个单调性：全网等效电阻

内部支路电流的变化可以如此复杂：

• 有的增大；
• 有的减小；
• 有的不变；
• 有的甚至可能反向。

那么整个纯电阻网络的两端等效电阻呢？

如果增大内部任意一只电阻，等效电阻会不会反而减小？

答案却异常整齐：

固定网络两端的总电流为 。

由总功率等于所有电阻耗散功率之和，

现在只改变某一只电阻 ，对其求导：

因为

只需要处理

将每条支路电压写成端点电势差，并按节点重新收集：

对于内部节点，

对两个外部端点，注入电流固定为

因此所有

于是第二项整体消失，最终得到

所以：

在纯正电阻网络中，增大任何一只内部电阻，整个网络的两端等效电阻都单调不减。

如果该支路本来恰好没有电流，那么导数为零，等效电阻在这一阶可以不变。

这就是为什么准确措辞应该是：

而不是“严格增加”。

这个结论与内部某些支路的电流反而增大完全不冲突。

内部电流如何重新分配，可以非常复杂；但从端口向里看，整个网络的耗散能力却具有一种稳定得多的单调性。

---

十三、回头看：几种“单调”其实不是一回事

一路推到这里，最初那个简单问题已经分裂成了几个不同层次。

1. 本路电流

增大本路电阻：

这是戴维南等效直接给出的。

2. 相邻支路电流

若统一以流入公共节点为正，则：

这是差值网络最大值原理的结果。

3. 串并联网络里的远端支路

若整个网络本身是递归串并联结构，那么可以根据两只电阻第一次共同进入的模块判断：

这里的“串”是真正的网络串联，而不是看起来沿着电流方向排成一条线。

4. 一般网络里的任意支路

不能只凭原电流流向判断。

真正决定方向的是单位测试网络中的传递系数

并且

因此每条支路的代数电流对被改变的电阻都是单调的，但各支路的单调方向可以不同。

5. 只靠拓扑能否判断

关键不是原电路中的实际电流箭头，而是：

在置零源、取下改变电阻后的辅助网络里， 的简单路径怎样穿过目标支路？

若只能以一个方向经过，则符号由结构保证；

若正反方向都能经过，则阻值开始参与竞争。

6. 整个网络的等效电阻

无论内部电流怎样重新洗牌，都有

这是另一种完全不同的单调性。

十四、最后

最开始，笔者只是觉得：

一条支路电阻增大，这条路少走一点，旁边的路自然多走一点。

在一个节点旁边，这个直觉没错。

在真正的串并联网络里，它甚至还能被推广成相当漂亮的“串反并同”。

可继续向一般网络走，电桥很快便告诉我们：实际电流箭头并没有携带足够的信息。

一条电流今天从这里流到那里，并不意味着两只电阻在网络结构上真的构成了串联关系。

真正稳定不变的对象，是把改变的电阻取下、把原电源置零以后留下的那个辅助网络。

在那个网络中，从改变支路的一端注入单位电流，再从另一端抽走。

于是每条支路都会留下一个固定的响应：

原网络里无论把电阻改大多少，复杂的全网重分配不过是在给这个固定响应乘上一个标量。

所以整个过程最终可以压成

而“串反并同”“电桥反例”“节点最大值原理”，不过是在不同网络结构下，对这股重新分配电流所作的不同描述。

最初看起来是在追问：

电阻变大以后，旁边的电流往哪走？

走到最后，问题反而变成了：

原来真正值得研究的，从来不是那只正在改变的电阻本身，而是它背后的整张网络。