线性 N 端网络的等效

戴维南等效与诺顿等效通常以二端网络的形式出现。若把问题稍微推广一步，自然会问：

若一个线性网络不是二端，而是对外留下 个端子，那么它是否也存在某种统一的等效描述？

答案是肯定的。

而且从更统一的角度看，戴维南定理其实只是一般线性多端网络理论在 时的一个特殊情形。

一、为什么 个端子只有 个独立变量

设网络对外留下 个端子，其电势分别为

乍看之下似乎有 个独立电压变量，但电路真正有物理意义的并不是绝对电势，而是电势差。

若把所有端子的电势同时平移一个常数 ：

则任意两端之间的电压均保持不变：

因此，电压空间中沿

方向的整体平移没有物理意义。

于是， 个端子的电势实际上只包含

个独立自由度。

笔者可以任选第 个端子作为参考端，定义

这样就得到 个独立端口电压。

电流一侧也恰好如此。

规定流入网络的端口电流为正，记为

由于内部节点之间的电流在整体求和时彼此抵消，对整个网络应用 KCL，有

因此

所以端口电流同样只有

个独立自由度。

于是一个浮置的 端网络，本质上由

和

描述。

二、线性 端网络的统一形式

取第 个端子作为参考端，定义

对于线性网络，端口电压与端口电流之间必满足仿射线性关系：

其中， 表示网络内部独立源产生的开路端口电压，而 为一个 的阻抗矩阵。

笔者愿意把它称为多端网络的“戴维南形式”。

对于普通二端网络，，此时矩阵退化为一个标量：

可见熟悉的戴维南等效，不过是上式的一维版本。

若 可逆，则也可以改写为

其中

这便是对应的多端诺顿形式。

因此可以把两者统一写成

与

三、如何确定 与

多端等效并不是一个抽象存在性结论，它可以通过有限次测试直接确定。

1. 求开路电压向量

首先将所有端口开路，即

于是

因此

这与二端戴维南等效中“测开路电压”的步骤完全一致。

2. 求阻抗矩阵

接下来将网络中的独立源置零。

然后依次在各个独立端口施加测试电流。

例如在第 个端口注入 ，而其余独立端口保持零电流：

由

可得

而矩阵乘以单位基向量 ，正好取出矩阵的第 列，因此

也就是说，每进行一次单端口测试，就可以得到 的一整列。

于是

其中：

• 称为自阻抗；
• 则描述端口 的电流对端口 电压的影响，可理解为互阻抗。

四、得到矩阵后，如何构造等效电路

知道端口关系，并不意味着一定要把它化成某一种漂亮的纯电阻拓扑。

对于一般线性网络，最直接也最万能的方法其实是使用受控源。

由

展开第 行：

因此第 个端口的电压可以由以下部分共同实现：

以及

其中自项

可以由普通阻抗实现，而互项

则可以由电流控制电压源实现。

因此，对于任意线性 端网络，都存在一种十分机械的等效构造：

这可以看成最一般意义上的多端戴维南等效电路。

五、互易网络带来的简化

若网络满足互易性，则互易定理给出

因此

这意味着阻抗矩阵是对称矩阵。

一个一般的 矩阵具有 个独立参数，而对称之后只剩

个独立参数。

这一步对于后面的纯电阻网络尤其重要。

六、纯无源电阻网络

若网络进一步由正电阻组成，且不含独立源，则

由于网络无源，端口输入功率满足

代入端口关系：

因此

若网络又满足互易性，则同时有

这说明一个复杂的无源多端电阻网络，从外部看来，可以被压缩为一个具有良好结构的矩阵。

七、把内部节点彻底消去：Kron Reduction

对于纯电阻网络，还可以从节点方程直接得到边界等效。

设网络节点分为两类：

• 外部端口节点；
• 内部节点。

将节点导纳矩阵分块：

内部节点没有外部注入电流，因此

若 可逆，则

代回边界节点方程：

得到

因此外部端口看到的等效导纳矩阵为

这正是 Schur 补在电路中的体现，也就是所谓的

从电路角度理解，它做的事情非常简单：

把所有内部节点作为未知量消掉，只保留外部端口之间的关系。

八、为什么三端网络如此特殊

对于三端网络，，因此只有两个独立电压与两个独立电流。

互易网络的阻抗矩阵为

一个对称 矩阵恰好只有三个独立参数。

而一个三星形电阻网络也恰好有三个电阻：

因此三端情况下，参数数目恰好匹配：

这也解释了为什么三端互易电阻网络常常可以非常漂亮地化成星形等效。

九、为什么四端以上不再能普遍化成星形

到了四端网络，，因此阻抗矩阵为 。

若网络互易，则它是对称矩阵，独立参数数目为

而一个四端星形网络只有四条支路，因此只有四个电阻参数。

显然

所以一般四端网络不可能仅靠一个简单星形网络表示全部端口行为。

但若允许任意两个端子之间都接一只电阻，则 个端子的完全图共有

条边。

这恰好与互易 端网络的独立矩阵参数个数相同。

因此对于一般纯电阻多端网络，完全图是一种十分自然的边界等效形式。

十、整体框架

至此，线性 端网络的思路可以概括为

经过

得到

于是端口关系写成

其中 由开路测试得到， 由逐端口测试电流得到。

之后根据网络性质继续简化：

于是笔者看来，戴维南定理最值得推广的并不是“某个二端网络可以化成一个电压源串电阻”，而是背后的更一般结构：

二端时，这个关系只是一个标量；

多端时，它自然升级成一个矩阵。

从这个角度看，戴维南等效并不是一个孤立技巧，而只是线性网络端口理论最简单的一个切片。