第14届 · 2022初赛 · 非数类 · 题4

题面

四、（本题满分 14 分）证明：对任意正整数 $n$，恒有

$${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}x{\left(\frac{\sin nx}{\sin x}\right)}^4\mathrm{d}x\le \left(\frac{n^2}{4}-\frac{1}{8}\right){\pi }^2.$$

来源：第14届(2022)初赛_非数_试题与答案.pdf，PDF 第 1–5 页。

题解（点击展开）

在 (0\le x\le\pi/2) 上使用 (\sin(nx)\le n\sin x)、(\sin(nx)\le1) 以及 (\sin x\ge2x/\pi)，分段估计得

$$\begin{array}{rl}{\int }_0^{\pi /2}x{\left(\frac{\sin nx}{\sin x}\right)}^4\mathrm{d}x& \le n^4{\int }_0^{\pi /(2n)}x\mathrm{d}x+\frac{{\pi }^4}{16}{\int }_{\pi /(2n)}^{\pi /2}\frac{\mathrm{d}x}{x^3}\\ & =\left(\frac{n^2}{4}-\frac{1}{8}\right){\pi }^2.\end{array}$$

当 (n=1) 时等号成立；上式对所有正整数 (n) 均成立。

题解来源：第14届(2022)初赛_非数_试题与答案.pdf；本阶段按对应参考答案转写，未逐步复核证明。

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