第14届 · 2022初赛 · 非数类 · 题5

题面

五、（本题满分 14 分）设 $z=f(x,y)$ 是区域

$$D=\{(x,y)\mid 0\le x\le 1,0\le y\le 1\}$$

上的可微函数，$f(0,0)=0$，且

$${\mathrm{d}z|}_{(0,0)}=3\mathrm{d}x+2\mathrm{d}y.$$

求极限

$$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{{\int }_0^{x^2}\mathrm{d}t{\int }_x^{\sqrt{t}}f(t,u)\mathrm{d}u}{1-\sqrt[4]{1-x^4}}.$$

来源：第14届(2022)初赛_非数_试题与答案.pdf，PDF 第 1–5 页。

题解（点击展开）

交换积分次序：

$$I(x)=-{\int }_0^x\mathrm{d}u{\int }_0^{u^2}f(t,u)\mathrm{d}t.$$

由 (f(0,0)=0) 及 (\mathrm dz|_{(0,0)}=3,\mathrm dx+2,\mathrm dy)，有

$$f(t,u)=3t+2u+o\left(\sqrt{t^2+u^2}\right).$$

因而

$$I(x)=-\frac{x^4}{2}+o(x^4).$$

又 (1-\sqrt[4]{1-x^4}=x^4/4+o(x^4))，所以

$$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{I(x)}{1-\sqrt[4]{1-x^4}}=-2.$$

题解来源：第14届(2022)初赛_非数_试题与答案.pdf；本阶段按对应参考答案转写，未逐步复核证明。

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