第14届 · 2022初赛 · 非数类 · 题3

题面

三、（本题满分 14 分）设函数 $f(x)$ 在 $(-1,1)$ 上二阶可导，$f(0)=1$，且当 $x\ge 0$ 时，

$$f(x)\ge 0,f^{\prime }(x)\le 0,f^{\prime \prime }(x)\le f(x).$$

证明：

$$f^{\prime }(0)\ge -\sqrt{2}.$$

来源：第14届(2022)初赛_非数_试题与答案.pdf，PDF 第 1–5 页。

题解（点击展开）

任取 (x\in(0,1))，由拉格朗日中值定理，存在 (\xi\in(0,x))，使得

$$f(x)-1=x{f}^{\prime }(\xi ).$$

因 (0\le f(x)\le1) 且 (f’(x)\le0)，有 (-1\le xf’(\xi)\le0)，从而 (f’(\xi)^2\le1/x^2)。令

$$F(x)=f^{\prime }(x{)}^2-f(x{)}^2,$$

则

$$F^{\prime }(x)=2f^{\prime }(x)(f^{\prime \prime }(x)-f(x))\ge 0.$$

所以 (F(\xi)\ge F(0)=f’(0)^2-1)，于是

$$f^{\prime }(0{)}^2\le 1+f^{\prime }(\xi {)}^2\le 1+\frac{1}{x^2}.$$

令 (x\to1^-)，得 (f’(0)^2\le2)。又 (f’(0)\le0)，故

$$f^{\prime }(0)\ge -\sqrt{2}.$$

题解来源：第14届(2022)初赛_非数_试题与答案.pdf；本阶段按对应参考答案转写，未逐步复核证明。

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