第14届 · 2022初赛 · 非数类 · 题2

题面

二、（本题满分 14 分）记向量 $\overrightarrow{OA}$ 与 $\overrightarrow{OB}$ 的夹角为 $\alpha$，

$$|\overrightarrow{OA}|=1,|\overrightarrow{OB}|=2,$$ $$\overrightarrow{OP}=(1-\lambda )\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OQ}=\lambda \overrightarrow{OB},0\le \lambda \le 1.$$

（1）问当 $\lambda$ 为何值时，$|\overrightarrow{PQ}|$ 取得最小值；

（2）设（1）中的 $\lambda$ 满足 $0<\lambda <\frac{1}{5}$，求夹角 $\alpha$ 的取值范围。

来源：第14届(2022)初赛_非数_试题与答案.pdf，PDF 第 1–5 页。

题解（点击展开）

由余弦定理，

$$|\overrightarrow{PQ}{|}^2=(5+4\cos \alpha ){\lambda }^2-2(1+2\cos \alpha )\lambda +1.$$

配方可知，当

$$\lambda =\frac{1+2\cos \alpha }{5+4\cos \alpha }$$

时取得最小值。令 (c=\cos\alpha)，由 (0<\lambda<1/5) 得 (-1/2<c<0)。由于 (\cos\alpha) 在 ([0,\pi]) 上单调递减，故

$$\frac{\pi }{2}<\alpha <\frac{2\pi }{3}.$$

题解来源：第14届(2022)初赛_非数_试题与答案.pdf；本阶段按对应参考答案转写，未逐步复核证明。

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