第11届 · 2019初赛 · 非数类 · 题4

题面

四（本题满分 14 分）计算积分

$$I={\int }_0^{2\pi }\mathrm{d}\varphi {\int }_0^{\pi }{e}^{\sin \theta (\cos \varphi -\sin \varphi )}\sin \theta \mathrm{d}\theta .$$

来源：第11届 · 2019 非数学类初赛原卷 PDF，PDF 第 1 页。

题解（点击展开）

在单位球面上使用平面

$$\frac{x-y}{\sqrt{2}}=t,-1\le t\le 1$$

分层。截面圆半径为 (\sqrt{1-t^2})，斜高因素抵消后面积元为 (2\pi,\mathrm dt)，故

$$I={\int }_{-1}^1{e}^{\sqrt{2}t}2\pi \mathrm{d}t=\sqrt{2}\pi (e^{\sqrt{2}}-e^{-\sqrt{2}}).$$

题解来源：对应卷别的参考解答 PDF；本阶段按原答案转写，未逐步复核证明。

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