第11届 · 2019初赛 · 非数类 · 题3

题面

三（本题满分 14 分）设 $f(x)$ 在 $[0,+\infty )$ 上可微，$f(0)=0$，且存在常数 $A>0$，使得

$$|f^{\prime }(x)|\le A|f(x)|$$

在 $[0,+\infty )$ 上成立，试证明在 $(0,+\infty )$ 上有 $f(x)\equiv 0$。

来源：第11届 · 2019 非数学类初赛原卷 PDF，PDF 第 1 页。

题解（点击展开）

在区间 ([0,1/(2A)]) 上取 (|f(x_0)|) 的最大值。由 (f(0)=0) 及拉格朗日中值定理，

$$|f(x_0)|=|f^{\prime }(\xi )x_0|\le A|f(\xi )|x_0\le \frac{1}{2}|f(x_0)|.$$

故 (f) 在 ([0,1/(2A)]) 上恒为零。把同样的论证平移到 ([1/(2A),2/(2A)])、([2/(2A),3/(2A)]) 等区间，逐段推出

$$f(x)\equiv 0(x>0).$$

题解来源：对应卷别的参考解答 PDF；本阶段按原答案转写，未逐步复核证明。

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