第11届 · 2019初赛 · 非数类 · 题5

题面

五（本题满分 14 分）设 $f(x)$ 是仅有正实根的多项式函数，满足

$$\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}=\sum _{n=0}^{\infty }{c}_n{x}^n,$$

证明：$c_n>0$（$n\ge 0$），极限

$$\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{1}{\sqrt[n]{c_n}}$$

存在，且等于 $f(x)$ 的最小根。

来源：第11届 · 2019 非数学类初赛原卷 PDF，PDF 第 1 页。

题解（点击展开）

设正根为 (0<a_1<a_2<\cdots<a_k)，则

$$-\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}=\sum _{n=0}^{\infty }{c}_n{x}^n,c_n=\frac{r_1}{a_1^{n+1}}+\cdots +\frac{r_k}{a_k^{n+1}}>0.$$

由相邻系数比值及根值公式，

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{\sqrt[n]{c_n}}=a_1,$$

即为 (f(x)) 的最小正根。

题解来源：对应卷别的参考解答 PDF；本阶段按原答案转写，未逐步复核证明。

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