第10届 · 2018初赛 · 非数类 · 题2

题面

二（本题满分 8 分）设函数 $f(t)$ 在 $t\ne 0$ 时一阶连续可导，且 $f(1)=0$，求函数 $f(x^2-y^2)$，使得曲线积分

$${\int }_L\left\{y\left[2-f(x^2-y^2)\right]\mathrm{d}x+xf(x^2-y^2)\mathrm{d}y\right\}$$

与路径无关，其中 $L$ 为任一不与直线 $y=\pm x$ 相交的分段光滑曲线。

来源：2018年-第十届全国初赛-非数学类试卷.pdf，PDF 第 1 页。

题解（点击展开）

令

$$P=y[2-f(x^2-y^2)],Q=xf(x^2-y^2).$$

路径无关给出 (P_y=Q_x)，整理为

$$u{f}^{\prime }(u)+f(u)-1=0,u=x^2-y^2.$$

结合 (f(1)=0)，得

$$f(u)=1-\frac{1}{u}.$$

题解来源：对应卷别的参考解答 PDF；本阶段按原答案转写，未逐步复核证明。

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