第10届 · 2018初赛 · 非数类 · 题1

题面

一、填空题（本题满分 24 分，共 4 小题，每小题 6 分）

（1）设 $\alpha \in (0,1)$，则

$$\underset{n\to +\infty }{\lim }\left[(n+1{)}^{\alpha }-n^{\alpha }\right]=\underline{}.$$

（2）若曲线 $y=y(x)$ 由

$$\{\begin{array}{l}x=t+\cos t,\\ e^y+ty+\sin t=1,\end{array}$$

确定，则此曲线在 $t=0$ 对应点处的切线方程为 $\underline{}$。

（3）

$$\int \frac{\ln \left(x+\sqrt{1+x^2}\right)}{(1+x^2{)}^{3/2}}\mathrm{d}x=\underline{}.$$

（4）

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos x\sqrt{\cos 2x\sqrt[3]{\cos 3x}}}{x^2}=\underline{}.$$

来源：2018年-第十届全国初赛-非数学类试卷.pdf，PDF 第 1 页。

题解（点击展开）

四个填空依次为

$$0;y=-x+1;\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\ln \left(x+\sqrt{1+x^2}\right)-\frac{1}{2}\ln (1+x^2)+C;3.$$

题解来源：对应卷别的参考解答 PDF；本阶段按原答案转写，未逐步复核证明。

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