第10届 · 2018初赛 · 非数类 · 题3

题面

三（本题满分 14 分）设 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上连续，且 $1\le f(x)\le 3$。证明：

$$1\le {\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x{\int }_0^1\frac{1}{f(x)}\mathrm{d}x\le \frac{4}{3}.$$

来源：2018年-第十届全国初赛-非数学类试卷.pdf，PDF 第 1 页。

题解（点击展开）

由柯西不等式

$$\left({\int }_0^{1}f\right)\left({\int }_0^1\frac{1}{f}\right)\ge 1.$$

又因 (1\le f\le3)，有 ((f-1)(f-3)\le0)，即 (f+3/f\le4)。积分并与 ((A+3B)^2\ge12AB) 合并，得到

$$1\le \left({\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x\right)\left({\int }_0^1\frac{\mathrm{d}x}{f(x)}\right)\le \frac{4}{3}.$$

题解来源：对应卷别的参考解答 PDF；本阶段按原答案转写，未逐步复核证明。

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