第1届 · 2009初赛 · 非数类 · 题4

题面

第四题（15 分）已知平面区域

$$D=\{(x,y)\mid 0\le x\le \pi ,0\le y\le \pi \},$$

$L$ 为 $D$ 的正向边界，试证：

（1）

$${\oint }_{L}x{e}^{\sin y}\mathrm{d}y-y{e}^{-\sin x}\mathrm{d}x={\oint }_{L}x{e}^{-\sin y}\mathrm{d}y-y{e}^{\sin x}\mathrm{d}x;$$

（2）

$${\oint }_{L}x{e}^{\sin y}\mathrm{d}y-y{e}^{-\sin x}\mathrm{d}x\ge \frac{5}{2}{\pi }^2.$$

来源：2009年第一届全国初赛-非数学类试卷.pdf，PDF 第 1 页。

题解（点击展开）

用格林公式。两边界积分分别化为

$${\iint }_D(e^{\sin y}+e^{-\sin x})\mathrm{d}x\mathrm{d}y,{\iint }_D(e^{-\sin y}+e^{\sin x})\mathrm{d}x\mathrm{d}y.$$

交换 (x,y) 即得二者相等。又由 (e^t+e^{-t}\ge 2+t^2)，有

$${\oint }_{L}x{e}^{\sin y}\mathrm{d}y-y{e}^{-\sin x}\mathrm{d}x\ge \pi {\int }_0^{\pi }(2+{\sin }^{2}x)\mathrm{d}x=\frac{5}{2}{\pi }^2.$$

题解来源：对应卷别的参考解答 PDF；本阶段按原答案转写，未逐步复核证明。

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