第1届 · 2009初赛 · 非数类 · 题5

题面

第五题（10 分）已知

$$y_1=x{e}^x+e^{2x},y_2=x{e}^x+e^{-x},y_3=x{e}^x+e^{2x}-e^{-x}$$

是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程。

来源：2009年第一届全国初赛-非数学类试卷.pdf，PDF 第 1 页。

题解（点击展开）

两解之差给出齐次解 (e^{2x},e^{-x})，故算子为

$$(D-2)(D+1)=D^2-D-2.$$

代入特解 (xe^x)，得到

$$y^{\prime \prime }-y^{\prime }-2y=(1-2x)e^x.$$

题解来源：对应卷别的参考解答 PDF；本阶段按原答案转写，未逐步复核证明。

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