第1届 · 2009初赛 · 非数类 · 题3

题面

第三题（15 分）设函数 $f(x)$ 连续，

$$g(x)={\int }_0^{1}f(xt)\mathrm{d}t,$$

且

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{x}=A,$$

$A$ 为常数。求 $g^{\prime }(x)$ 并讨论 $g^{\prime }(x)$ 在 $x=0$ 处的连续性。

来源：2009年第一届全国初赛-非数学类试卷.pdf，PDF 第 1 页。

题解（点击展开）

当 (x\ne0) 时，令 (u=xt)，则

$$g(x)=\frac{1}{x}{\int }_0^{x}f(u)\mathrm{d}u,$$

从而

$$g^{\prime }(x)=\frac{xf(x)-{\int }_0^{x}f(u)\mathrm{d}u}{x^2}.$$

由 (f(x)/x\to A) 可知 (f(0)=0)，且

$$g^{\prime }(0)=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{g(x)-g(0)}{x}=\frac{A}{2},$$

同时 (g’(x)\to A/2)，所以 (g’) 在 (x=0) 处连续。

题解来源：对应卷别的参考解答 PDF；本阶段按原答案转写，未逐步复核证明。

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