第16届 · 2024初赛 · 非数A类 · 题2

题面

二、（本题满分 14 分）求微分方程

$$(x^3-y^2)\mathrm{d}x+(x^{2}y+xy)\mathrm{d}y=0$$

的通解。

来源：主资料包中的 2024 初赛 A 类试题限时自测版，PDF 第 1 页。

题解（点击展开）

令 (u=y^2)，则

$$\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=\frac{2u}{x(1+x)}-\frac{2x^2}{x+1}.$$

这是关于 (u) 的一阶线性方程。乘以积分因子 (\left((x+1)/x\right)^2)，得

$${\left[{\left(\frac{x+1}{x}\right)}^{2}u\right]}^{\prime }=-2(x+1).$$

积分并代回 (u=y^2)，得到通解

$${\left(\frac{x+1}{x}\right)}^2{y}^2+(x+1{)}^2=C.$$

题解来源：第16届 2024 初赛非数 A 类试题及答案解析 PDF；本阶段按对应参考答案转写，未逐步复核证明。

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