第16届 · 2024初赛 · 非数A类 · 题3

题面

三、（本题满分 14 分）设函数

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{\ln (1+x)}-\frac{1}{x},& 0<x\le 1,\\ k,& x=0.\end{array}$$

（1）求常数 $k$ 的值，使得 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上连续；

（2）对（1）中 $k$ 的值，求函数 $f(x)$ 的最小值 $\lambda$ 与最大值 $\mu$。

来源：主资料包中的 2024 初赛 A 类试题限时自测版，试题 PDF 第 1 页；答案合订本 PDF 第 5 页复核公式。

版本校正

两份资料的该处不同：无答案试题页印作 $\frac{\ln (1+x)}{k}-\frac{1}{x}$，按此式题目无解；答案合订本的题面印作 $\frac{1}{\ln (1+x)}-\frac{1}{x}$，并给出与之完全一致的连续性及最值推导。因此正文采用后一个可自洽版本，同时保留这条版本说明。

题解（点击展开）

当 $x>0$ 时，

$$f(x)=\frac{x-\ln (1+x)}{x\ln (1+x)},$$

所以由洛必达法则

$$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x)=\frac{1}{2}.$$

故连续性要求给出 $k=\frac{1}{2}$。

再令

$$g(x)=(1+x){\ln }^2(1+x)-x^2.$$

则

$$f^{\prime }(x)=\frac{g(x)}{x^2(1+x){\ln }^2(1+x)}.$$

因 $g(0)=g^{\prime }(0)=0$，且

$$g^{\prime \prime }(x)=\frac{2\ln (1+x)-2x}{1+x}<0(0<x\le 1),$$

可知 $g^{\prime }(x)<0$、$g(x)<0$，从而 $f$ 在 $[0,1]$ 上单调递减。因此

$$\lambda =f(1)=\frac{1}{\ln 2}-1,\mu =f(0)=\frac{1}{2}.$$

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