第16届 · 2024初赛 · 非数A类 · 题1

题面

一、填空题（本题满分 30 分，每小题 6 分）

（1）

$${\int }_0^1\ln (1+x^2)\mathrm{d}x=\underline{}.$$

（2）设

$$z=f(x^2-y^2,xy),$$

且 $f(u,v)$ 有连续的二阶偏导数，则

$$\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}=\underline{}.$$

（3）设 $D:x^2+y^2\le r^2$，其中 $r>0$，则

$$\underset{r\to 0^{+}}{\lim }\frac{{\iint }_D(e^{x^2+y^2}-1)\mathrm{d}x\mathrm{d}y}{r^4}=\underline{}.$$

（4）直线

$$L:\frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-1}{-1}$$

在平面 $\pi :x-y+2z-1=0$ 上的投影直线 $L_0$ 的单位方向向量为

$$\underline{}.$$

（5）设 $L$ 为圆周 $x^2+y^2=9$，取逆时针方向，则第二型曲线积分

$${\oint }_L\frac{-y}{4x^2+y^2}\mathrm{d}x+\frac{x}{4x^2+y^2}\mathrm{d}y=\underline{}.$$

来源：主资料包中的 2024 初赛 A 类试题限时自测版，PDF 第 1 页。

题解（点击展开）

五个填空依次为

$$\ln 2-2+\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2};f_v-4xy{f}_{uu}+2(x^2-y^2)f_{uv}+xy{f}_{vv};\pm \frac{(-4,-2,1)}{\sqrt{21}};\pi .$$

上式中的各阶偏导数均在 ((u,v)=(x^2-y^2,xy)) 处取值。第（4）问先求直线与平面的交线，再取其方向向量并单位化；第（5）问使用椭圆 (4x^2+y^2=4) 与格林公式，得到积分值 (\pi)。

题解来源：第16届 2024 初赛非数 A 类试题及答案解析 PDF；本阶段按对应参考答案转写，未逐步复核证明。

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