第13届 · 2021初赛补赛 · 非数类 · 题2

题面

二、（本题满分 14 分）设

$$f(x)=-\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{e}\right)+{\int }_{-1}^1|x-t|e^{-t^2}\mathrm{d}t.$$

证明：在区间 $(-1,1)$ 内，$f(x)$ 有且仅有两个实根。

来源：第13届(2021)初赛_非数_试题与答案.pdf，PDF 第 1–8 页。

题解（点击展开）

将积分在 (t=x) 处分开，可得

$$f(x)=-\frac{1}{2}-\frac{3}{2e}+e^{-x^2}+2x{\int }_0^x{e}^{-t^2}\mathrm{d}t.$$

因而 (f(x)) 是偶函数，且

$$f^{\prime }(x)=2{\int }_0^x{e}^{-t^2}\mathrm{d}t.$$

在 ((0,1)) 上 (f’(x)>0)，所以 (f) 严格递增。又

$$f(0)=\frac{1}{2}-\frac{3}{2e}<0,$$

而

$$f(1)=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2e}+2{\int }_0^1{e}^{-t^2}\mathrm{d}t>\frac{3}{2}-\frac{5}{2e}>0.$$

由介值定理，(f) 在 ((0,1)) 内有一个根；由严格单调性，这个根唯一。再由偶性，((-1,0)) 内有且仅有一个根，所以在 ((-1,1)) 内恰有两个实根。

题解来源：第13届(2021)初赛_非数_试题与答案.pdf；本阶段按对应参考答案转写，未逐步复核证明。

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