第13届 · 2021初赛补赛 · 非数类 · 题3

题面

三、（本题满分 14 分）设函数 $f(x,y)$ 在闭区域

$$D=\{(x,y)\mid x^2+y^2\le 1\}$$

上具有二阶连续偏导数，且

$$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}=x^2+y^2.$$

求

$$\underset{r\to 0^{+}}{\lim }\frac{{\iint }_{x^2+y^2\le r^2}\left(x\frac{\partial f}{\partial x}+y\frac{\partial f}{\partial y}\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y}{(\tan r-\sin r{)}^2}.$$

来源：第13届(2021)初赛_非数_试题与答案.pdf，PDF 第 1–8 页。

题解（点击展开）

令

$$\bar{f}(\rho )=\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }f(\rho \cos \theta ,\rho \sin \theta )\mathrm{d}\theta .$$

由 (\Delta f=x^2+y^2)，圆周平均满足

$${\bar{f}}^{\prime \prime }(\rho )+\frac{1}{\rho }{\bar{f}}^{\prime }(\rho )={\rho }^2.$$

结合 (f) 在原点附近的光滑性，得

$${\bar{f}}^{\prime }(\rho )=\frac{{\rho }^3}{4}.$$

因此分子为

$$\begin{array}{rl}{\iint }_{x^2+y^2\le r^2}(x{f}_x+y{f}_y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y& =2\pi {\int }_0^r{\rho }^2{\bar{f}}^{\prime }(\rho )\mathrm{d}\rho \\ & =\frac{\pi r^6}{12}.\end{array}$$

另一方面，(\tan r-\sin r=\frac12r^3+O(r^5))，故

$$\underset{r\to 0^{+}}{\lim }\frac{\pi r^6/12}{(\tan r-\sin r{)}^2}=\boxed{\frac{\pi }{3}}.$$

题解来源：第13届(2021)初赛_非数_试题与答案.pdf；本阶段按对应参考答案转写，未逐步复核证明。

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