第13届 · 2021初赛补赛 · 非数类 · 题1

题面

一、填空题（本题满分 30 分，每小题 6 分）

（1）设

$$x_0=1,x_n=\ln (1+x_{n-1})(n\ge 1),$$

则

$$\underset{n\to +\infty }{\lim }n{x}_n=\underline{}.$$

（2）积分

$${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{\cos x}{1+\tan x}\mathrm{d}x=\underline{}.$$

（3）已知直线 $L$ 与平面 $\pi$ 为

$$L:\{\begin{array}{l}2x-4y+z=0,\\ 3x-y-2z=9,\end{array}\pi :4x-y+z=1,$$

则直线 $L$ 在平面 $\pi$ 上的投影直线方程为

$$\underline{}.$$

（4）

$$\sum _{n=1}^{\infty }\arctan \frac{2}{4n^2+4n+1}=\underline{}.$$

（5）微分方程

$$\{\begin{array}{l}(x+1)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+1=2e^{-y},\\ y(0)=0,\end{array}$$

的解是

$$\underline{}.$$

来源：第13届(2021)初赛_非数_试题与答案.pdf，PDF 第 1–8 页。

题解（点击展开）

五个填空依次为

$$2;\frac{1}{\sqrt{2}}\ln (1+\sqrt{2});\{\begin{array}{l}17x+31y-37z-117=0,\\ 4x-y+z-1=0,\end{array}\frac{\pi }{2}-\arctan 2;y=\ln \frac{2x+1}{x+1}.$$

第（3）问中，过直线 (L) 且垂直于平面 (\pi) 的平面为

$$17x+31y-37z-117=0,$$

与 (\pi) 联立即得投影直线。第（4）问利用

$$\arctan \frac{2}{4n^2+4n+1}=\arctan (2n+2)-\arctan (2n)$$

逐项相消。第（5）问令 (u=e^y)，则

$$(x+1)u^{\prime }+u=2,u(0)=1,$$

从而 (u=(2x+1)/(x+1))。

题解来源：第13届(2021)初赛_非数_试题与答案.pdf；本阶段按对应参考答案转写，未逐步复核证明。

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