第12届 · 2020初赛 · 非数类 · 题6

题面

六（12 分）证明

$$f(n)=\sum _{m=1}^n{\int }_0^m\cos \frac{2\pi n[x+1]}{m}\mathrm{d}x$$

等于 $n$ 的所有因子（包含 $1$ 和 $n$ 本身）之和，其中 $[x+1]$ 表示不超过 $x+1$ 的最大整数，并计算 $f(2021)$。

来源：第12届 · 2020 非数学类初赛原卷 PDF，PDF 第 2 页。

题解（点击展开）

把积分按区间 ([k-1,k]) 拆开。若 (m\mid n)，对应积分为 (m)；否则由三角和公式为 (0)。因此

$$f(n)=\sum _{m\mid n}m.$$

因为 (2021=43\cdot47)，所以

$$f(2021)=1+43+47+2021=2112.$$

题解来源：对应卷别的参考解答 PDF；本阶段按原答案转写，未逐步复核证明。

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