第12届 · 2020初赛 · 非数类 · 题5

题面

五（12 分）计算

$$I={\oint }_{\Gamma }|\sqrt{3}y-x|\mathrm{d}x-5z\mathrm{d}z,$$

其中

$$\Gamma :\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2+z^2=8,\\ x^2+y^2=2z,\end{array}$$

从 $z$ 轴正向往坐标原点看去取逆时针方向。

来源：第12届 · 2020 非数学类初赛原卷 PDF，PDF 第 1 页。

题解（点击展开）

由两曲面联立得 (z=2,\ x^2+y^2=4)，取

$$x=2\cos \theta ,y=2\sin \theta ,z=2.$$

于是 (\mathrm dz=0)，且被积函数关于圆心对称，参考解答得到

$$I=0.$$

题解来源：对应卷别的参考解答 PDF；本阶段按原答案转写，未逐步复核证明。

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