第12届 · 2020初赛 · 非数类 · 题7

题面

七（14 分）设

$$u_n={\int }_0^1\frac{\mathrm{d}t}{(1+t^4{)}^n}(n\ge 1).$$

（1）证明数列 $\{u_n\}$ 收敛，并求极限 $\underset{n\to \infty }{\lim }{u}_n$；

（2）证明级数

$$\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^n{u}_n$$

条件收敛；

（3）证明当 $p\ge 1$ 时级数

$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{u_n}{n^p}$$

收敛，并求级数

$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{u_n}{n}$$

的和。

来源：第12届 · 2020 非数学类初赛原卷 PDF，PDF 第 2 页。

题解（点击展开）

先由积分估计知 (u_n\downarrow0)。又有

$$u_n\ge {\int }_0^1\frac{\mathrm{d}t}{(1+t{)}^n}=\frac{1-2^{1-n}}{n-1},$$

故 (\sum u_n) 发散，而交错级数 (\sum(-1)^nu_n) 条件收敛。

分部积分给出

$$u_n=\frac{1}{2^n}+4n(u_n-u_{n+1}).$$

从而

$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{u_n}{n}=\ln 2+4u_1=\ln 2+\frac{\sqrt{2}}{2}\left[\pi +2\ln (1+\sqrt{2})\right].$$

并且 (u_n/n^p\le u_n/n)（(p\ge1)），所以相应级数均收敛。

题解来源：对应卷别的参考解答 PDF；本阶段按原答案转写，未逐步复核证明。

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