第9届 · 2017初赛 · 非数类

题面

第四题（15 分）设函数 $f (x) > 0$ 且在实轴上连续，若对任意实数 $t$ ，有

\int_{- \infty}^{+ \infty} e^{- ∣ t - x ∣} f (x) d x \leq 1.

证明： $\forall a, b, a < b$ ，有

\int_{a}^{b} f (x) d x \leq \frac{b - a + 2}{2} .

来源：2017年-第九届全国初赛-非数学类试卷.pdf，PDF 第 1 页。

题解（点击展开）

对题设不等式在 (t\in[a,b]) 上积分，交换积分次序并估计内层长度，得到
$\int_{a}^{b} f (x) d x \leq \frac{b - a + 2}{2} .$
题解来源：对应卷别的参考解答 PDF；本阶段按原答案转写，未逐步复核证明。