第9届 · 2017初赛 · 非数类 · 题3

题面

第三题（14 分）设曲线 $\Gamma$ 为曲线

$$x^2+y^2+z^2=1,x+z=1,x\ge 0,y\ge 0,z\ge 0$$

上从点 $A(1,0,0)$ 到点 $B(0,0,1)$ 的一段。求曲线积分

$$I={\int }_{\Gamma }y\mathrm{d}x+z\mathrm{d}y+x\mathrm{d}z.$$

来源：2017年-第九届全国初赛-非数学类试卷.pdf，PDF 第 1 页。

题解（点击展开）

将交线参数化为

$$x=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos t,y=\frac{\sqrt{2}}{2}\sin t,z=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos t,0\le t\le \pi .$$

代入线积分并整理，得到

$$I=\frac{1}{2}-\frac{\pi \sqrt{2}}{4}.$$

题解来源：对应卷别的参考解答 PDF；本阶段按原答案转写，未逐步复核证明。

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