第9届 · 2017初赛 · 非数类

题面

第二题（14 分）设二元函数 $f (x, y)$ 在平面上有连续的二阶偏导数，对任意角度 $α$ ，定义一元函数

g_{α} (t) = f (t cos α, t sin α) .

若对任何 $α$ 都有

\frac{d g _{α} ( 0 )}{d t} = 0, \frac{d ^{2} g _{α} ( 0 )}{d t ^{2}} > 0,

证明： $(0, 0)$ 是 $f (x, y)$ 的极小值。

来源：2017年-第九届全国初赛-非数学类试卷.pdf，PDF 第 1 页。

题解（点击展开）

方向二阶导数在任意非零方向均为正，且题设点的一阶导数为零，故 Hessian 矩阵正定。由二阶充分条件，该点为严格局部极小值。

题解来源：对应卷别的参考解答 PDF；本阶段按原答案转写，未逐步复核证明。