第9届 · 2017初赛 · 非数类

题面

一、填空题（本题 42 分，共 6 小题，每小题 7 分）

（1）已知可导函数 $f (x)$ 满足

f (x) cos x + 2 \int_{0}^{x} f (t) sin t d t = x + 1,

则 $f (x) =$ 。

（2）

n \to \infty lim sin^{2} (π n^{2} + n) = .

（3）设 $w = f (u, v)$ 具有二阶连续偏导数，且 $u = x - cy, v = x + cy$ ，其中 $c$ 为非零常数，则

w_{xx} - \frac{1}{c ^{2}} w_{yy} = .

（4）设 $f (x)$ 具有二阶连续导数，且 $f (0) = f^{'} (0) = 0, f^{''} (0) = 6$ ，则

x \to 0 lim \frac{f ( sin ^{2} x )}{x ^{4}} = .

（5）不定积分

I = \int \frac{e ^{- s i n x} sin 2 x}{( 1 - sin x ) ^{2}} d x = .

（6）记曲面 $z^{2} = x^{2} + y^{2}$ 和 $z = 4 - x^{2} - y^{2}$ 围成的空间区域为 $V$ ，则三重积分

∭_{V} z d x d y d z = .

来源：2017年-第九届全国初赛-非数学类试卷.pdf，PDF 第 1 页。

题解（点击展开）

六个小题依次为
$f (x) = cos x + sin x; 1; 4 f_{uv}; 3;$ $\frac{2 e ^{- s i n x}}{1 - sin x} + C; 2 π .$
题解来源：对应卷别的参考解答 PDF；本阶段按原答案转写，未逐步复核证明。