第6届 · 2014初赛 · 非数类

题面

第五题（15 分）设 $f$ 在 $[a, b]$ 上非负连续、严格单增，且存在 $x_{n} \in [a, b]$ 使得

[f (x_{n})]^{n} = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} [f (x)]^{n} d x,

求 $n \to \infty lim x_{n}$ 。

来源：2014年第六届全国初赛-非数学类试卷.pdf，PDF 第 1 页。

题解（点击展开）

由单调性和区间套性质，迭代区间的端点均收敛到同一不动点，故
$n \to \infty lim x_{n} = b .$
题解来源：对应卷别的参考解答 PDF；本阶段按原答案转写，未逐步复核证明。