第6届 · 2014初赛 · 非数类

题面

第六题（15 分）设

A_{n} = \frac{n}{n ^{2} + 1} + \frac{n}{n ^{2} + 2 ^{2}} + \dots + \frac{n}{n ^{2} + n ^{2}},

求

n \to \infty lim n (\frac{π}{4} - A_{n}) .

来源：2014年第六届全国初赛-非数学类试卷.pdf，PDF 第 1 页。

题解（点击展开）

将积分写成 Beta 型积分，作 (t=\tan x) 等变换并取渐近展开，得到
$n \to \infty lim n (\frac{π}{4} - A_{n}) = \frac{1}{4} .$
题解来源：对应卷别的参考解答 PDF；本阶段按原答案转写，未逐步复核证明。