第6届 · 2014初赛 · 非数类 · 题4

题面

第四题（14 分）

（1）设一球缺高为 $h$，所在球半径为 $R$。证明该球缺的体积为

$$\frac{\pi }{3}(3R-h)h^2,$$

球冠的面积为 $2\pi Rh$。

（2）设球体

$$(x-1{)}^2+(y-1{)}^2+(z-1{)}^2\le 12$$

被平面 $P:x+y+z=6$ 所截的小球缺为 $\Omega$。记球缺上的球冠为 $\Sigma$，方向指向球外，求第二型曲面积分

$$I={\iint }_{\Sigma }x\mathrm{d}y\mathrm{d}z+y\mathrm{d}z\mathrm{d}x+z\mathrm{d}x\mathrm{d}y.$$

来源：2014年第六届全国初赛-非数学类试卷.pdf，PDF 第 1 页。

题解（点击展开）

球冠的体积和表面积分别为

$$V_{\mathrm{cap}}=\frac{\pi }{3}(3R-h)h^2,S_{\mathrm{cap}}=2\pi Rh.$$

代入题设几何条件，得 (h=\sqrt3,\ R=2\sqrt3)，最终积分为

$$I=33\sqrt{3}\pi .$$

题解来源：对应卷别的参考解答 PDF；本阶段按原答案转写，未逐步复核证明。

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