第3届 · 2011初赛 · 非数类 · 题5

题面

第五题（15 分）设 $z=z(x,y)$ 是由方程

$$F\left(z+\frac{1}{x},z-\frac{1}{y}\right)=0$$

确定的隐函数，且具有连续的二阶偏导数。求证：

$$x^2\frac{\partial z}{\partial x}-y^2\frac{\partial z}{\partial y}=1,$$

以及

$$x^3\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x^2}+xy(x-y)\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}-y^3\frac{{\partial }^{2}z}{\partial y^2}+2=0.$$

来源：2011年第三届全国初赛-非数学类试卷.pdf，PDF 第 1 页。

题解（点击展开）

对

$$F\left(z+\frac{1}{x},z-\frac{1}{y}\right)=0$$

分别对 (x,y) 求导并消去 (F) 的偏导，得

$$x^2{z}_x-y^2{z}_y=1.$$

再对上式分别求导并整理，得到

$$x^3{z}_{xx}+xy(x-y)z_{xy}-y^3{z}_{yy}+2=0.$$

题解来源：对应卷别的参考解答 PDF；本阶段按原答案转写，未逐步复核证明。

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