第3届 · 2011初赛 · 非数类 · 题6

题面

第六题（15 分）设函数 $f(x)$ 连续，$a,b,c$ 为常数，$\Sigma$ 是单位球面

$$x^2+y^2+z^2=1.$$

记第一型曲面积分

$$I={\iint }_{\Sigma }f(ax+by+cz)\mathrm{d}S.$$

求证：

$$I=2\pi {\int }_{-1}^{1}f\left(\sqrt{a^2+b^2+c^2}u\right)\mathrm{d}u.$$

来源：2011年第三届全国初赛-非数学类试卷.pdf，PDF 第 1 页。

题解（点击展开）

旋转坐标，使向量 ((a,b,c)) 变为新的 (z) 轴，记

$$r=\sqrt{a^2+b^2+c^2}.$$

单位球面上被水平面 (z=ru) 截出的圆周面积元积分为 (2\pi,\mathrm du)。因此

$$I=2\pi {\int }_{-1}^{1}f(ru)\mathrm{d}u=2\pi {\int }_{-1}^{1}f\left(\sqrt{a^2+b^2+c^2}u\right)\mathrm{d}u.$$

题解来源：对应卷别的参考解答 PDF；本阶段按原答案转写，未逐步复核证明。

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