第17届 · 2025初赛 · 非数A类 · 题5

题面

五、（本题满分 14 分）判断级数

$$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n$$

的收敛性，其中

$$a_n={\sin }^{2}x{\sin }^{2}2x\cdots {\sin }^2(2^{n}x),x\in (-\infty ,+\infty ).$$

来源：第17届 2025 初赛非数 A 类试题及参考答案合订本，试题 PDF 第 5 页。

题解（点击展开）

令

$$h(x)={\sin }^{2}x\sin 2x.$$

由

$$h^{\prime }(x)=2{\sin }^{2}x(3-4{\sin }^{2}x)$$

可得 (\lvert h(x)\rvert\le3\sqrt3/8)。于是

$$a_n^{3/2}=|\sin x||h(x)h(2x)\cdots h(2^{n-1}x)||{\sin }^2(2^{n}x)|\le {\left(\frac{3\sqrt{3}}{8}\right)}^n,$$

从而

$$0\le a_n\le {\left(\frac{3}{4}\right)}^n.$$

因此 (\sum_{n=1}^{\infty}a_n) 收敛。 题解来源：第17届 2025 初赛非数 A 类试题及参考答案 PDF；本阶段按对应参考答案转写，未逐步复核证明。

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