第17届 · 2025初赛 · 非数A类 · 题4

题面

四、（本题满分 14 分）设 $\Omega$ 是由平面

$${\Pi }_1:x=0,{\Pi }_2:x=y,{\Pi }_3:y=z,{\Pi }_4:z=1,{\Pi }_5:z=2$$

围成的空间区域，求三重积分

$${\iiint }_{\Omega }\frac{\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z}{\sqrt{y^2+z^2}}.$$

来源：第17届 2025 初赛非数 A 类试题及参考答案合订本，试题 PDF 第 4 页。

题解（点击展开）

由区域边界可知 (1\le z\le2)，且在固定的 (z) 截面内有 (0\le y\le z,\ y\le x\le z)。因此

$$\begin{array}{rl}I& ={\int }_1^2\mathrm{d}z{\int }_0^z\mathrm{d}y{\int }_y^z\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{y^2+z^2}}\\ & \\ & ={\int }_1^2\mathrm{d}z{\int }_0^z\frac{z-y}{\sqrt{y^2+z^2}}\mathrm{d}y\\ & \\ & =(\sqrt{2}-1){\int }_1^{2}z\mathrm{d}z=\frac{3}{2}(\sqrt{2}-1).\end{array}$$

题解来源：第17届 2025 初赛非数 A 类试题及参考答案 PDF；本阶段按对应参考答案转写，未逐步复核证明。

导航

本卷：　← 上一题 · 下一题 → · 本卷目录

卷间：　上一卷 · 当前末卷 · 过往题迹总目录

总入口：　回到数理漫游