第16届 · 2024初赛 · 非数A类 · 题4

题面

四、（本题满分 14 分）求曲面积分

$$I={\iint }_S(x^2-x)\mathrm{d}y\mathrm{d}z+(y^2-y)\mathrm{d}z\mathrm{d}x+(z^2-z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y,$$

其中 $S$ 是上半球面

$$x^2+y^2+z^2=R^2(z\ge 0)$$

的上侧。

来源：主资料包中的 2024 初赛 A 类试题限时自测版，PDF 第 2 页。

题解（点击展开）

在 (S) 下方补上圆盘 (\Sigma:\ z=0,\ x^2+y^2\le R^2)，构成上半球体的边界。令 (\mathbf F=(x^2-x,y^2-y,z^2-z))，由高斯公式及圆盘上的通量为零，

$$I={\iiint }_{\Omega }(2(x+y+z)-3)\mathrm{d}V,$$

其中 (\Omega) 为上半球体。利用关于 (x,y) 的对称性，

$$I={\iiint }_{\Omega }(2z-3)\mathrm{d}V.$$

取球坐标 (x=\rho\cos\theta\sin\varphi,\ y=\rho\sin\theta\sin\varphi,\ z=\rho\cos\varphi)，则

$$\begin{array}{rl}I& =2\pi {\int }_0^{\pi /2}{\int }_0^R(2\rho \cos \phi -3){\rho }^2\sin \phi \mathrm{d}\rho \mathrm{d}\phi \\ & =\frac{\pi R^4}{2}-2\pi R^3.\end{array}$$

题解来源：第16届 2024 初赛非数 A 类试题及答案解析 PDF；本阶段按对应参考答案转写，未逐步复核证明。

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