第15届 · 2023初赛 · 非数A类 · 题2

题面

二、（本题满分 14 分）解方程

$$(x^2+y^2+3)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=2x\left(2y-\frac{x^2}{y}\right).$$

来源：第15届 2023 初赛非数 A 类参考答案合订本，PDF 第 3 页。

题解（点击展开）

令 (u=x^2,\ v=y^2)，则

$$\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}u}=\frac{2(2v-u)}{u+v+3}.$$

再令 (U=u+2,\ V=v+1)，并置 (W=V/U)，有

$$U\frac{\mathrm{d}W}{\mathrm{d}U}=-\frac{(W-1)(W-2)}{W+1}.$$

分离变量并积分，得到

$$U(W-2{)}^3=C(W-1{)}^2.$$

代回 (U=x^2+2,\ V=y^2+1)，通解为

$$(y^2-2x^2-3{)}^3=C(y^2-x^2-1{)}^2.$$

题解来源：第15届(2023)初赛_非数A_参考答案(题目见汇总).pdf；本阶段按对应参考答案转写，未逐步复核证明。

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