第15届 · 2023初赛 · 非数A类 · 题1

题面

一、填空题（本题满分 30 分，每小题 6 分）

（1）

$$\underset{x\to 3}{\lim }\frac{\sqrt{x^3+9}-6}{2-\sqrt{x^3-23}}=\underline{}.$$

（2）设 $z=f(x^2-y^2,xy)$，且 $f(u,v)$ 有连续的二阶偏导数，则

$$\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}=\underline{}.$$

（3）设

$$f(x)=\frac{1}{x^2-3x+2},$$

则

$$f^{(n)}(0)=\underline{}.$$

（4）幂级数

$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{n-1}{x}^{2n}}{n(2n-1)}$$

的收敛域为 $\underline{}$。

（5）设曲面 $\Sigma$ 是平面 $y+z=5$ 被柱面 $x^2+y^2=25$ 所截得的部分，则

$${\iint }_{\Sigma }(x+y+z)\mathrm{d}S=\underline{}.$$

来源：第15届 2023 初赛非数 A 类参考答案合订本，PDF 第 1 页。

题解（点击展开）

五个填空依次为

$$-\frac{1}{3};f_v-4xy{f}_{uu}+2(x^2-y^2)f_{uv}+xy{f}_{vv};n!\left(1-\frac{1}{2^{n+1}}\right);[-1,1];125\sqrt{2}\pi .$$

上式中的各阶偏导数均在 ((u,v)=(x^2-y^2,xy)) 处取值。第（4）问的收敛半径为 (1)，且两个端点处也绝对收敛。

题解来源：第15届(2023)初赛_非数A_参考答案(题目见汇总).pdf；本阶段按对应参考答案转写，未逐步复核证明。

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