第12届 · 2020初赛 · 非数类 · 题4

题面

四（12 分）已知

$$z=xf\left(\frac{y}{x}\right)+2y\phi \left(\frac{x}{y}\right),$$

其中 $f,\phi$ 均为二阶可微函数。

（1）求 $\frac{\partial z}{\partial x},\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}$；

（2）当 $f=\phi$，且

$${\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}|}_{x=a}=-b{y}^2,$$

时，求 $f(y)$。

来源：第12届 · 2020 非数学类初赛原卷 PDF，PDF 第 1 页。

题解（点击展开）

复合求导得

$$z_x=f\left(\frac{y}{x}\right)-\frac{y}{x}{f}^{\prime }\left(\frac{y}{x}\right)+2{\phi }^{\prime }\left(\frac{x}{y}\right),$$ $$z_{xy}=-\frac{y}{x^2}{f}^{\prime \prime }\left(\frac{y}{x}\right)-\frac{2x}{y^2}{\phi }^{\prime \prime }\left(\frac{x}{y}\right).$$

当 (f=\varphi) 且 (x=a) 时，令 (u=y/a)，并利用变量互易性，得

$$f^{\prime \prime }(u)=\frac{a^{3}b}{3}\left(\frac{2}{u^4}-u\right).$$

两次积分得到

$$f(y)=\frac{a^{3}b}{3}\left(\frac{1}{3y^2}-\frac{y^3}{6}\right)+C_{1}y+C_2.$$

题解来源：对应卷别的参考解答 PDF；本阶段按原答案转写，未逐步复核证明。

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