第6届 · 2014初赛 · 非数类

题面

一、填空题（共有 5 小题，每小题 6 分，共 30 分）

（1）已知 $y_{1} = e^{x}$ 和 $y_{2} = x e^{x}$ 是齐次二阶常系数线性微分方程的解，则该微分方程是。

（2）设有曲面 $S : z = x^{2} + 2 y^{2}$ 和平面 $π : 2 x + 2 y + z = 0$ ，则与 $π$ 平行的 $S$ 的切平面方程是。

（3）设 $y = y (x)$ 由

x = \int_{1}^{y - x} sin^{2} \frac{π t}{4} d t

所确定，则

\frac{d y}{d x}_{x = 0} = .

（4）设

x_{n} = k = 1 \sum n \frac{k}{( k + 1 )!},

则 $n \to \infty lim \frac{x _{n}}{n} =$ 。

（5）已知

x \to 0 lim (1 + x + \frac{f ( x )}{x})^{1/ x} = e^{3},

则 $x \to 0 lim \frac{f ( x )}{x ^{2}} =$ 。

来源：2014年第六届全国初赛-非数学类试卷.pdf，PDF 第 1 页。

题解（点击展开）

五个填空依次为
$y^{''} - 2 y^{'} + y = 0; 2 x + 2 y + z + \frac{3}{2} = 0; 3; 0; 2.$
题解来源：对应卷别的参考解答 PDF；本阶段按原答案转写，未逐步复核证明。