第5届 · 2013初赛 · 非数类

题面

第三题（12 分）设 $f (x)$ 在 $x = 0$ 处存在二阶导数 $f^{''} (0)$ ，且

x \to 0 lim \frac{f ( x )}{x} = 0.

证明：级数

n = 1 \sum \infty f (\frac{1}{n})

收敛。

来源：2013年第五届全国初赛-非数学类试卷.pdf，PDF 第 1 页。

题解（点击展开）

对题中通项作二阶 Taylor 展开，余项满足
$∣ a_{n} ∣ = O (\frac{1}{n ^{2}}) .$
故由比较判别法，所给级数收敛。

题解来源：对应卷别的参考解答 PDF；本阶段按原答案转写，未逐步复核证明。