第4届 · 2012初赛 · 非数类 · 题4

题面

第四题（12 分）设函数 $y=f(x)$ 二阶可导，且

$$f^{\prime \prime }(x)>0,f(0)=0,f^{\prime }(0)=0.$$

求

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x^{3}f(u)}{f(x{)}^3{\sin }^{3}u},$$

其中 $u$ 是曲线 $y=f(x)$ 上点 $P(x,f(x))$ 处切线在 $x$ 轴上的截距。

来源：2012年第四届全国初赛-非数学类试卷.pdf，PDF 第 1 页。

题解（点击展开）

切线与 (x) 轴交点的横坐标为

$$u=x-\frac{f(x)}{f^{\prime }(x)}.$$

在 (0) 处展开 (f(x)=f”(0)x^2/2+o(x^2))，结合题设条件可得

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{u}{x}=2.$$

题解来源：对应卷别的参考解答 PDF；本阶段按原答案转写，未逐步复核证明。

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