第3届 · 2011初赛 · 非数类 · 题3

题面

第三题（15 分）设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[-1,1]$ 上具有连续的三阶导数，且

$$f(-1)=0,f(1)=1,f^{\prime }(0)=0.$$

求证：在开区间 $(-1,1)$ 内至少存在一点 $x_0$，使得

$$f^{\prime \prime \prime }(x_0)=3.$$

来源：2011年第三届全国初赛-非数学类试卷.pdf，PDF 第 1 页。

题解（点击展开）

在 (0) 处对 (f) 作三阶 Taylor 展开，并分别代入 (x=1) 与 (x=-1)。结合 (f(-1)=0,f(1)=1,f’(0)=0)，可得存在 (\eta_1,\eta_2\in(-1,1)) 使

$$f^{\prime \prime \prime }({\eta }_1)+f^{\prime \prime \prime }({\eta }_2)=6.$$

由 (f''') 的连续性及介值性，存在 (x_0\in(-1,1)) 使 (f'''(x_0)=3)。

题解来源：对应卷别的参考解答 PDF；本阶段按原答案转写，未逐步复核证明。

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