题 3 · 极限定义函数

题面

设

$$f(x)=\underset{n\to \infty }{\lim }n\left[{\left(1+\frac{x}{n}\right)}^n-e^x\right],$$

求 $f(x)$ 的显式表达式。

题解（点击展开）

对固定的 $x$，作展开：

$$n\ln \left(1+\frac{x}{n}\right)=x-\frac{x^2}{2n}+O\left(\frac{1}{n^2}\right).$$

因而

$${\left(1+\frac{x}{n}\right)}^n=e^x\exp \left(-\frac{x^2}{2n}+O\left(\frac{1}{n^2}\right)\right)=e^x\left(1-\frac{x^2}{2n}+O\left(\frac{1}{n^2}\right)\right).$$

所以

$f(x)=-\frac{x^2}{2}{e}^x.$

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