题 2 · 函数关系式

题面

已知函数 $f(x)$ 满足等式

$$2f(x)+x^{2}f\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{x^2+2x}{x+1},$$

求 $f(x)$ 的表达式。

题解（点击展开）

在题设等式可用的定义域 $x\ne 0,-1$ 上，分别写出 $x$ 与 $1/x$ 对应的两个方程：

$$\{\begin{array}{l}2f(x)+x^{2}f(1/x)=\frac{x(x+2)}{x+1},\\ f(x)+2x^{2}f(1/x)=\frac{x(1+2x)}{x+1}.\end{array}$$

解这个关于 $f(x)$ 与 $x^{2}f(1/x)$ 的方程组，得到

$f(x)=\frac{x}{x+1}.$

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