第17届 · 2025初赛 · 非数A类 · 题6

题面

六、（本题满分 14 分）设函数 $f(x),g(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续可导，且满足：

（i）

$${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x={\int }_a^{b}g(x)\mathrm{d}x=0;$$

（ii）

$$f^{\prime }(x)g(x)-f(x)g^{\prime }(x)>0,x\in [a,b];$$

（iii）$g(x)$ 在 $(a,b)$ 上有唯一零点 $\xi$。

证明：

（1）

$${\int }_a^{b}f(x)\left({\int }_a^{x}g(s)\mathrm{d}s\right)\mathrm{d}x=-{\int }_a^{b}g(x)\left({\int }_a^{x}f(s)\mathrm{d}s\right)\mathrm{d}x.$$

（2）

$${\int }_a^{b}f(x)\left({\int }_a^{x}g(s)\mathrm{d}s\right)\mathrm{d}x>0.$$

来源：第17届 2025 初赛非数 A 类试题及参考答案合订本，试题 PDF 第 6 页。

题解（点击展开）

令

$$F(x)={\int }_a^{x}f(s)\mathrm{d}s,G(x)={\int }_a^{x}g(s)\mathrm{d}s.$$

由条件（i），(F(a)=G(a)=F(b)=G(b)=0)。分部积分得

$${\int }_a^{b}f(x)G(x)\mathrm{d}x=[F(x)G(x){]}_a^b-{\int }_a^{b}F(x)g(x)\mathrm{d}x,$$

这就证明了（1）。

对（2），不妨设 (g’(\xi)>0)；若不然同时将 (f,g) 换号，积分值不变。于是 (g<0) 于 ([a,\xi))，(g>0) 于 ((\xi,b])。在 (g\ne0) 的区间上，

$${\left(\frac{f}{g}\right)}^{\prime }=\frac{f^{\prime }g-f{g}^{\prime }}{g^2}>0.$$

因而 (f/g) 在两侧都严格递增。又由（1）及全积分为零，

$${\int }_a^{b}f(x)G(x)\mathrm{d}x=\frac{1}{2}{\iint }_{a\le s\le x\le b}(f(x)g(s)-f(s)g(x))\mathrm{d}s\mathrm{d}x.$$

将积分区域分成 [ D_1={a\le s\le x\le\xi},\quad D_2={a\le s\le\xi\le x\le b},\quad D_3={\xi\le s\le x\le b}. ] 在 (D_1,D_3) 上，被积函数严格为正；而在 (D_2) 上，积分为

$$\left({\int }_{\xi }^{b}f(x)\mathrm{d}x\right)\left({\int }_a^{\xi }g(s)\mathrm{d}s\right)-\left({\int }_{\xi }^{b}g(x)\mathrm{d}x\right)\left({\int }_a^{\xi }f(s)\mathrm{d}s\right)=0.$$

所以整体积分严格大于零。

题解来源：第17届 2025 初赛非数 A 类试题及参考答案 PDF；本阶段按对应参考答案转写，未逐步复核证明。

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