第17届 · 2025初赛 · 非数A类 · 题3

题面

三、（本题满分 14 分）求微分方程

$$y^{\prime }x\ln x\sin y+(1-x\cos y)\cos y=0$$

的通解。

来源：第17届 2025 初赛非数 A 类试题及参考答案合订本，试题 PDF 第 3 页。

题解（点击展开）

原方程可写为

$$y^{\prime }\sin y+\frac{\cos y}{x\ln x}=\frac{{\cos }^{2}y}{\ln x}.$$

令 (u=\cos y)，再令 (w=1/u)，得到一阶线性方程

$$w^{\prime }+\frac{w}{x\ln x}=\frac{1}{\ln x}.$$

积分后有

$$w\ln x=x+C.$$

因而通解可写为

$$\frac{1}{\cos y}=\frac{x+C}{\ln x},\text{或}(x+C)\cos y=\ln x.$$

题解来源：第17届 2025 初赛非数 A 类试题及参考答案 PDF；本阶段按对应参考答案转写，未逐步复核证明。

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