第16届 · 2024初赛 · 非数A类 · 题5

题面

五、（本题满分 14 分）设 $f(x)$ 是 $(-\infty ,+\infty )$ 上具有连续导数的非负函数，且存在 $M>0$，使得对任意 $x,y\in (-\infty ,+\infty )$，有

$$\left|f^{\prime }(x)-f^{\prime }(y)\right|\le M|x-y|.$$

证明：对于任意实数 $x$，恒有

$$(f^{\prime }(x){)}^2\le 2Mf(x).$$

来源：主资料包中的 2024 初赛 A 类试题限时自测版，PDF 第 2 页。

题解（点击展开）

对任意 (h\ne0)，由 (f(x+h)\ge0) 及导数的 Lipschitz 条件，

$$0\le f(x+h)=f(x)+f^{\prime }(x)h+{\int }_0^h(f^{\prime }(x+t)-f^{\prime }(x))\mathrm{d}t.$$

取 (h) 与 (f’(x)) 反号，得到

$$|f^{\prime }(x)|\le \frac{f(x)}{|h|}+\frac{M|h|}{2}.$$

令 (|h|=\sqrt{2f(x)/M})（若 (f(x)=0) 取极限），即得

$$|f^{\prime }(x)|\le \sqrt{2Mf(x)}.$$

两边平方，故

$$(f^{\prime }(x){)}^2\le 2Mf(x).$$

题解来源：第16届 2024 初赛非数 A 类试题及答案解析 PDF；本阶段按对应参考答案转写，未逐步复核证明。

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