第15届 · 2023初赛 · 非数A类 · 题5

题面

五、（本题满分 14 分）设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上有连续的导数，且 $f(0)=0$。证明：

$${\int }_0^1{f}^2(x)\mathrm{d}x\le 4{\int }_0^1(1-x{)}^2|f^{\prime }(x){|}^2\mathrm{d}x,$$

并求使上式成为等式的 $f(x)$。

来源：第15届 2023 初赛非数 A 类参考答案合订本，PDF 第 6 页。

题解（点击展开）

分部积分得

$${\int }_0^1{f}^2(x)\mathrm{d}x=2{\int }_0^1(1-x)f^{\prime }(x)f(x)\mathrm{d}x.$$

由柯西不等式，

$${\int }_0^1{f}^2(x)\mathrm{d}x\le 2{\left({\int }_0^1(1-x{)}^2|f^{\prime }(x){|}^2\mathrm{d}x\right)}^{1/2}{\left({\int }_0^1{f}^2(x)\mathrm{d}x\right)}^{1/2}.$$

两边平方并约去左侧因子，即得题设不等式。

等号成立时需有 ((1-x)f’(x)=cf(x))。其解为 (f(x)=d(1-x)^{-c})；结合 (f(0)=0) 得 (d=0)。因此等号成立当且仅当

$$f(x)\equiv 0.$$

题解来源：第15届(2023)初赛_非数A_参考答案(题目见汇总).pdf；本阶段按对应参考答案转写，未逐步复核证明。

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